Προετοιμασία της γέμισης
Σε ένα μεγάλο μπολ, ανακατεύουμε:
Τη γραβιέρα, το χαλούμι, το σιμιγδάλι, τη μαγιά και τις σταφίδες.
Προσθέτουμε το ψιλοκομμένο δυόσμο και ανακατεύουμε ξανά.
Κοπανίζουμε τη μαστίχα μαζί με λίγη ζάχαρη για να διαλυθεί καλύτερα και τη ρίχνουμε στο μείγμα.
Προσθέτουμε τα αβγά και το μαχλέπι και ανακατεύουμε μέχρι να έχουμε ένα ομοιογενές μείγμα.

Σχηματισμός των φλαούνων
Κόβουμε τη ζύμη σε τετράγωνα κομμάτια.
Ανοίγουμε το κάθε κομμάτι με έναν πλάστη για να λεπτύνει ελαφρώς.
Βάζουμε μια κουταλιά γέμιση στο κέντρο κάθε τετραγώνου.
Διπλώνουμε τις άκρες προς το κέντρο, αφήνοντας ένα μικρό άνοιγμα από όπου φαίνεται λίγο η γέμιση.
Πατάμε τις γωνίες με ένα πιρούνι για να κλείσουν καλά και να μην ανοίξουν στο ψήσιμο.

Επικάλυψη και ψήσιμο
Σε ένα μπολάκι, χτυπάμε τα αβγά με λίγο νερό. Προσθέτουμε το βρασμένο σουσάμι (για πιο μαλακό αποτέλεσμα). Αλείφουμε τις φλαούνες με το μείγμα αβγού, προσέχοντας να μην τρέξει στη βάση, γιατί μπορεί να καεί στο ταψί και να υγράνει τη ζύμη. Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180°C για 20-25 λεπτά, μέχρι να πάρουν ένα χρυσαφένιο χρώμα.