Λιώνουμε το βούτυρο, καβουρδίζουμε το αλεύρι και ανακατεύοντας ρίχνουμε σιγά-σιγά το 1/3 του γάλατος. Ρίχνουμε το υπόλοιπο, λίγο αλάτι και φρεσκοτριμμένο πιπέρι. Ανακατεύουμε μέχρι να δέσει. Αφαιρούμε από την εστία και προσθέτουμε ένα αβγό.

Σε ένα αντικολλητικό ταψί τοποθετούμε στις άκρες φύλλα τσαλακώνοντάς τα και φύλλα χωρίς να τα τσαλακώσουμε στο κέντρο για να κρατήσει τη γέμιση.
Σε ένα μπολ ανακατεύουμε με τα χέρια όλα τα τυριά.
Τα απλώνουμε στη βάση της πίτας μας.

Αδειάζουμε τη μπεσαμέλ στην πίτα ομοιόμορφα για να πάει παντού. Ανακατεύουμε ελαφρά με πιρούνι προσέχοντας να μην τρυπήσουμε τη βάση.

Απλώνουμε από πάνω φύλλα με τον ίδιο τρόπο όπως και τη βάση. Πατάμε λίγο για να κολλήσουν μεταξύ τους.

Ρίχνουμε ελαιόλαδο και απλώνουμε με πινέλο.

Σε προθερμασμένο φούρνο, στους 170°C, με πάνω-κάτω αντίσταση και αέρα ψήνουμε μέχρι να πάρει χρώμα.

Αφήνουμε για 10 λεπτά να κρυώσει, κόβουμε και σερβίρουμε.